Sauter au contenu

Équations différentielles pour les sciences appliquées et le génie

Jiří Lebl

Section 2.2 Champs de direction

Rappelons que l’équation générale du premier ordre s’écrit comme suit :
\begin{equation*} y' = f(x , y)\text{.} \end{equation*}
Souvent, on ne peut tout simplement pas trouver une solution analytique à cette équation. Mais on aimerait au moins avoir une idée de la forme et du comportement de la solution, ou trouver une solution approximative.

Sous-section Champs de direction

L’équation \(y' = f(x , y)\) donne une formule pour la pente de la tangente à une solution à chaque point du plan \((x , y)\text{.}\) Autrement dit, si \(y(x)\) est une solution, alors son graphe passe par le point \((x , y)\text{,}\) et la pente de la tangente au graphe à ce point est donnée par \(f(x , y)\text{.}\) La solution exacte au point \((x , y)\) est approximée par une droite de pente \(f(x , y)\text{,}\) alors on place à ce point un petit segment de droite ayant cette pente. Par exemple, si \(f(x , y) = xy\text{,}\) alors, au point \((2 , 1,5)\text{,}\) on trace une petite ligne de pente \(xy = 2 \times 1,5 = 3\text{.}\) Si \(y(x)\) est une solution et que \(y(2) = 1,5\text{,}\) l’équation différentielle impose la condition \(y'(2) = 3\text{.}\) Voir la figure 2.2.1.
Figure 2.2.1. La tangente au point \((2 , 1,5)\text{,}\) dont la pente est \(y'=xy\text{.}\)
Pour visualiser le comportement des solutions, on trace de tels segments de droite à plusieurs points du plan (idéalement, on voudrait voir la tangente à chaque point du plan, ce qui est évidemment impossible). Typiquement, on se donne un grillage de points, suffisamment fin pour qu’on voie le comportement des solutions, mais pas trop, sinon on ne voit plus les segments individuels. On appelle une telle figure le champ de directions pour l’équation. La figure 2.2.2 montre le champ de directions pour l’équation \(y' = xy\text{.}\) Habituellement, on laissera à un ordinateur le soin de tracer une telle figure.
Supposons que nous nous faisons donner une condition initiale, \(y(x_0) = y_0\text{.}\) Une solution, c’est-à-dire le graphe d’une solution, est une courbe tangente aux segments de droite qu’on a dessinés. Quelques exemples de solutions sont donnés à la figure 2.2.3. On peut tracer grosso modo une solution dans le champ de directions, juste en regardant les directions. Il suffit de tracer une courbe qui passe par la condition initiale et qui est à peu près tangente aux segments du champ de directions.
Figure 2.2.2. Champ de directions pour \(y' = xy\text{.}\)
Figure 2.2.3. Champ de directions pour \(y' = xy\text{,}\) avec les graphes de solutions satisfaisant à \(y(0) = 0,2\text{,}\) \(y(0) = 0\) et \(y(0) = -0,2\text{.}\)
L’observation du champ de directions suffit pour avoir beaucoup d’information sur le comportement des solutions. Par exemple, la figure 2.2.3 nous montre le comportement des solutions selon que \(y(0) > 0\text{,}\) \(y(0) = 0\) ou \(y(0) \lt 0\text{.}\) Un petit changement dans la condition initiale peut entraîner des différences appréciables dans le comportement des solutions. Et l’on peut le voir juste en regardant le champ de directions et en imaginant ce que font les solutions.
Le comportement est tout autre avec l’équation \(y' = -y\text{.}\) La figure 2.2.4 montre le champ de directions de cette équation, ainsi que quelques solutions. Lorsqu’on se déplace de gauche à droite (dans la direction où \(x\) augmente), on voit que, quelle que soit la valeur de \(y(0)\text{,}\) toutes les solutions tendent vers 0 lorsque \(x\) tend vers l’infini. Ce comportement s’observe bien du champ de directions, sans devoir résoudre l’équation explicitement.
Figure 2.2.4. Champ de directions pour \(y' = -y\text{,}\) avec le graphe de quelques solutions.

Sous-section Existence et unicité

Nous allons considérer maintenant deux questions fondamentales à propos de l’équation
\begin{equation*} y' = f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0\text{.} \end{equation*}
  1. Est-ce qu’une solution existe?
  2. Si elle existe, est-ce que la solution est unique?
Avant de continuer, essayez de répondre à ces questions.
Tous les exemples vus jusqu’ici pourraient vous faire croire que la réponse est oui aux deux questions. Mais ce n’est pas toujours le cas.
Pour les équations décrivant des lois de la nature, on s’attend à ce qu’une solution existe. Cette solution devrait aussi être unique, du moins si l’on croit en un univers déterministe. Si aucune solution n’existe, ou si elle n’est pas unique, il y a probablement un problème avec le modèle. C’est donc pertinent de saisir les conditions dans lesquelles une solution unique existe.

Exemple 2.2.5.

Essayons de résoudre l’équation suivante :
\begin{equation*} y' = \frac{1}{x}, \qquad y(0) = 0\text{.} \end{equation*}
En intégrant, on trouve la solution générale \(y = \ln \, \lvert x \rvert + C\text{.}\) Mais cette solution n’est pas définie en \(x=0\text{.}\) Voir la figure 2.2.6. On aurait pu écrire l’équation comme \(x y' = 1\) et l’on pourrait croire que la solution devrait être jolie.
Figure 2.2.6. Champ de directions pour \(y' = \nicefrac{1}{x}\text{.}\)
Figure 2.2.7. Champ de directions pour \(y' = 2 \sqrt{\lvert y \rvert}\text{,}\) avec deux solutions satisfaisant à \(y(0) = 0\text{.}\)

Exemple 2.2.8.

Résolvons :
\begin{equation*} y' = 2 \sqrt{\lvert y \rvert}, \qquad y(0) = 0\text{.} \end{equation*}
Voir la figure 2.2.7. Remarquons que \(y=0\) est une solution. Et en voici une autre :
\begin{equation*} y(x) = \begin{cases} x^2 \amp \text{ si } \; x \geq 0 \\ -x^2 \amp \text{ si } \; x \lt 0. \end{cases} \end{equation*}
Si l’on se fie au champ de directions, il peut être difficile de se rendre compte que la solution n’est pas unique. Que faire? Heureusement, on a le théorème de Picard\(\!\)
 1 
Charles Émile Picard, mathématicien français (1856-1941).
.
Observons que les équations des deux exemples précédents, \(y' = \nicefrac{1}{x}\text{,}\) \(y(0) = 0\) et \(y' = 2 \sqrt{\lvert y \rvert}\text{,}\) \(y(0) = 0\text{,}\) ne satisfont pas aux conditions du théorème de Picard. Même lorsque le théorème s’applique, il faut faire attention puisque la solution ne sera possiblement pas définie pour toutes les valeurs réelles de \(x\text{.}\)

Exemple 2.2.10.

Résolvons :
\begin{equation*} y' = y^2, \qquad y(0) = A\text{,} \end{equation*}
où \(A\) est une constante quelconque.
On peut résoudre cette équation avec les outils que nous avons déjà vus. D’abord, supposons que \(A \not= 0\text{;}\) alors, \(y\) est différent de 0 pour des valeurs de \(x\) proches de 0. Nous pouvons donc réécrire l’équation : \(x' = \nicefrac{1}{y^2}\text{,}\) ce qui nous donne, en intégrant, \(x = \nicefrac{-1}{y} + C\text{,}\) et donc \(y = \frac{1}{C-x}\text{.}\) Si \(y(0) = A\text{,}\) alors \(C = \nicefrac{1}{A}\text{,}\) et donc
\begin{equation*} y = \frac{1}{\nicefrac{1}{A} - x}\text{.} \end{equation*}
Lorsque \(A=0\text{,}\) \(y=0\) est une solution.
Lorsque \(A=1\text{,}\) par exemple, la solution explose à \(x=1\text{.}\) Ainsi, une solution existe, mais elle n’est pas définie pour toute valeur de \(x\text{,}\) et ce, même si l’équation \(y' = y^2\) semble plutôt innocente.
Dans ce manuel, nous considérerons principalement des équations dont la solution existe et est unique pour toutes les valeurs de la variable indépendante.

Exercices Exercices

1.

Dessinez un champ de directions pour \(y'=e^{x-y}\text{.}\) Comment se comportent les solutions lorsque \(x\) augmente? Pouvez-vous deviner une solution particulière en regardant le champ de directions?

2.

Dessinez un champ de directions pourr \(y'=x^2\text{.}\)

3.

Dessinez un champ de directions pour \(y'=y^2\text{.}\)

4.

Peut-on résoudre \(y' = \frac{xy}{\cos x}\text{,}\) \(y(0) = 1\text{?}\) Justifiez votre réponse.

5.

Peut-on résoudre \(y' = y\sqrt{\lvert x\rvert}\text{,}\) \(y(0) = 0\text{?}\) La solution est-elle unique? Justifiez votre réponse.

6.

Associez les équations suivantes \(y'=1-x\text{,}\) \(y'=x-2y\text{,}\) \(y' = x(1-y)\) à leurs champs de directions respectifs. Justifiez votre réponse.

7. défi.

Soit \(y' = f(x,y)\text{,}\) \(y(0) = 0\text{,}\) tel que \(f(x,y) > 1\) pour tous \(x\) et \(y\text{.}\) Si la solution existe pour tout \(x\text{,}\) que peut-on dire à propos de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers l’infini? Expliquez.

8. défi.

Soit \((y-x)y' = 0\text{,}\) \(y(0) = 0\text{.}\)
  1. Trouvez deux solutions distinctes.
  2. Expliquez pourquoi ceci ne contredit pas le théorème de Picard.

9.

Soit \(y' = f(x,y)\text{.}\) Dites ce que vous savez à propos de son champ de directions, et dessinez un exemple, si vous avez l’information suivante à propos de \(f(x,y)\) :
  1. \(f\) ne dépend pas de \(y\text{.}\)
  2. \(f\) ne dépend pas de \(x\text{.}\)
  3. \(f(t,t) = 0\) pour toute valeur \(t\text{.}\)
  4. \(f(x,0) = 0\) et \(f(x,1) = 1\) pour tout \(x\text{.}\)

10.

Trouvez une solution à \(y' = \lvert y \rvert\text{,}\) \(y(0) = 0\text{.}\) Peut-on appliquer le théorème de Picard?

11.

Soit \(y' = (y-2x) g(x,y) + 2\text{,}\) où \(g(x,y)\) est une fonction quelconque. Pouvez-vous résoudre l’équation avec condition initiale \(y(0) = 0\text{,}\) et si oui, quelle est la solution?

12. défi.

[2] Soit \(y' = f(x,y)\) tel que \(f(x,1) = 0\) pour tout \(x\text{,}\) \(f\) est continue et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) existe et est continue pour tous \(x\) et \(y\text{.}\)
  1. Devinez une solution pour la condition initiale \(y(0) = 1\text{.}\)
  2. Les graphes de deux solutions ayant des conditions initiales différentes peuvent-elles s’intersecter?
  3. En supposant que \(y(0) = 0\text{,}\) que peut-on dire à propos de la solution? En particulier, peut-on avoir \(y(x) > 1\) pour un certain \(x\text{?}\) Peut-on avoir \(y(x) = 1\) pour un certain \(x\text{?}\) Pourquoi ou pourquoi pas?

13.

Dessiner le champ de directions pour \(y'=y^3\text{.}\) Pouvez-vous identifier visuellement une solution telle que \(y(0)=0\text{?}\)
Réponse.
\(y=0\) est une solution telle que \(y(0)=0\text{.}\)

14.

Est-il possible de résoudre \(y' = xy\text{,}\) \(y(0) = 0\text{?}\) La solution est-elle unique?
Réponse.
Oui une solution existe. Car \(y' = f(x,y)\) où \(f(x,y) = xy\text{.}\) La fonction \(f(x,y)\) est continue et \(\frac{\partial f}{\partial y} = x\text{,}\) qui est aussi continue près de \((0,0)\text{.}\) Par conséquent, la solution existe et est unique. (En fait \(y=0\) est une solution).

15.

Peut-on résoudre \(y' = \frac{x}{x^2-1}\text{,}\) \(y(1) = 0\text{?}\)
Réponse.
Non puisque la seule solution possible n’est pas définie au point \((x,y) = (1,0)\text{.}\)

16.

Associez les équations suivantes, \(y'=\sin x\text{,}\) \(y'=\cos y\text{,}\) \(y' = y\cos(x)\) à leurs champs de directions respectifs. Justifiez votre réponse.
Réponse.
a) \(y'=\cos y\text{,}\) b) \(y' = y\cos(x)\text{,}\) c) \(y'=\sin x\text{.}\)

17. défi.

Supposons que
\begin{equation*} f(y) = \begin{cases} 0 \amp \text{ si \(y > 0\) } , \\ 1 \amp \text{ si \(y \leq 0\) } . \end{cases} \end{equation*}
Est-ce que \(y' = f(y)\text{,}\) \(y(0) = 0\) admet une solution dont la dérivée est continue? Le théorème de Picard s’applique-t-il? Pourquoi ou pourquoi pas?
Réponse.
Picard ne s’applique pas puisque \(f\) n’est pas continue en \(y=0\text{.}\) De plus, l’équation n’admet pas de solution dont la dérivée est continue. Car si c’était vrai, alors il s’ensuivrait que \(y'(0) = 1\text{.}\) Par le test de la première dérivée, \(y(x) > 0\) pour de petites valeurs positives de \(x\text{.}\) Mais on a que \(y'(x) = 0\) pour ces valeurs de \(x\text{,}\) et donc \(y'\) n’est pas continue.

18.

Considérons une équation de la forme \(y' = f(x)\text{,}\) où \(f\) est une fonction continue quelconque, avec condition initiale \(y(x_0) = y_0\text{.}\) Existe-t-il une solution pour tout \(x\text{?}\) Pourquoi ou pourquoi pas?
Réponse.
La solution est \(y(x) = \int_{x_0}^x f(s) \,ds + y_0\text{,}\) ce qui existe pour toute valeur de \(x\text{.}\)
PrécédentTopSuivant